1、2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)设yex(cisinxc2cosx)(g,c2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为设rry2，则div(gradr)|(1,2,2)交换二次积分的积分次序:dy2f(x,y)dx,一21设矩阵a满足a2a4e0,其中e为单位矩阵，则ae=设随机变量x的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计pxe(x)2、选择题(本题共5小题,每小题3分，共15分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题(1)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图形如右图所示,
2、y则导函数yf(x)的图形为()目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.).一-)在点(0,0,f(0,0)的切向量为1,0,3.y0(d)曲线zf(x,y)在点(0,0,f(0,0)的切向量为3,0,1.y0设f(0)0,则f(x)在点x。可导的充要条件为()(a)limf(1h0h2cosh)存在.1(c)lim=f(hh0h2sinh)存在.1
3、111400011110000设a,b11110000111100001(4)(a)合同且相似.(c)不合同但相似1h(b)lim0-f(1e)存在.1，口忡。:f(2h)f(h)存在.，则()(b)合同但不相似.(d)不合同且不相似.次，以x禾日y分别表示正面向上和反面向上的次数，则x和y的相(5)将一枚硬币重复掷救*()1(a)-1(b)0(c)-2(本题满分6分)卜arctanex,求2xdxe(本题满分6分)设函数zf(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)求x0试将f(x)展开成1,x0(本题满分7
4、分)计算iol(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2n(d)1四、五、x的藉级数，并求级数六、y2)dz,其中l轴正向看去，l为逆时针方向.y1的交线从z1,土与柱面x七、(本题满分7分)(1,1)3,(x)f(x,f(x,x).旦;的和.n114n是平面xyz2设yf(x)在(1,1)内具有二阶连续导数且f"(x)0,试证:对于(-1,1)内的任意x0,存在唯一的(x)e(0,1)，使f(x)f(0)xf.，、1忡0(x)2八、(本题满分8分)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程zh(t)(设长度单位为厘米，时间单位为小时)
5、，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时？九、(本题满分6分)设1,2,，s为线性方程组ax0的一个基础解系，1t11t22,2t12t23,，st1st21，其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足什么关系时，1,2,，s也为ax。的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3阶矩阵a与三维向量x,使得向量组x,ax,a2x线性无关，且满足a3x3ax2a2x(1) 记px,ax,a2x,求2阶矩阵b,使apbp1;(2) 计算行列式ae.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数x服从参数(0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p
6、(0p1),且途中下车与否相互独立，以y表示在中途下车的人数，求:(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；二维随机变量(x,y)的概率分布.十二、(本题满分7分)设总体x服从证态分布n(,2)(0),从该总体中抽取简单随机样本x1,x2，,x2n(n2),其样本均值为xxi,求统计量yxixni2x22ni1i1的数学期望e(y).2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题【答案】y2y2y0.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程ypyqy0的通解为yex(c|sinxc2cosx)时，则特征方程r_,一、一.一r【详解】本题实际上是计算2xprq
7、0对应的两个根为一对共轴复根:i,2i,所以根据题设yex(cisinxc2cosx)(g,c2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知:1,1,特征根为1,2i1i,从而对应的特征方程为:(1i)(1i)2220,于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为y2y2y0.【答案】2.3【分析】若rx,y,z具有连续的一阶偏导数，梯度gradr在直角坐标中的计舁公式为:.r.r.rgradr一i一j一kxyz设ax,y,zpx,y,ziqx,y,zjrx,y,zk,其中p,q,r具有一阶连续偏导数，散度diva在直角坐标中的计算公式为:pdivaxqryz若rx,y,z具有二阶连续偏导数，
8、则在直角坐标中有计算公式:2r2y2r2z2rdiv(gradr)x222rxyzx2x2222、xyzx222xyz2rxrrxxrxrx22xrrx2xxr2rx23rrr类似可得ry2r2r2y.rz22z?yr,y23rzr,z2&根据定义有div(gradr)2r2r2r222222rxryrz2x2y2z333rrr3r222xy2zo223rr2r2223r3r3rr,x22y2z于是div(gradr)|(i,2,2)23x=2x21x【答案】1dxf(x,y)dy.【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在1y0内,21y,题设的二
9、次积分并不是f(x,y)在某区域上的二重积分因此,应先将题设给的二次积分变形为:01y021dy2f(x,y)dx1dy1yf(x,y)dx,其中d(x,y)1y0,1yx2,再由图所示，又可将d改写为d(x,y)1×2,1xy0于是于是于是01y1虬f(x,y)dx0:1dy1yf(x,y)dx201dx1xf(x,y)dy21x1 dx0f(x,y)dy.(4)【答案】1(a2e).2(ae)be的形式.【详解】要求(ae)的逆,应努力把题中所给条件化成由题设a2a4e0a2a2e2eaea2e2e即ae-a2ee2故11aea2e.2(5)【答案】1/2【分析】切比雪夫不等式:p|xe(
10、x)【分析】切比雪夫不等式:p|xe(x)d(x)2【详解】根据切比雪夫不等式有p|xe(x)2p|xe(x)2p|xe(x)22 d(x)21-2二22二、选择题【答案】(d)【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线yf(x)是严格单调增加的，因此当x0时,一定有f(x)0,对应yf(x)图形必在x轴的上
11、方，由此可排除(a),(c)；yf(x)图形必在x轴的上方，由此可排除(a),(c)；yf(x)图形必在x轴的上方，由此可排除(a),(c)；又yf(x)的图形在y轴右侧靠近y轴部分是单调增,所以在这一段内一定有f(0,0)3,fy(0,0)1,未设f(x,y)在点(0,0)可微,也没设zf(x,y),所以谈不上dz,因此可立即排除(a)；令f(x,y,z)zf(x,y),则有fxfx,fyfy,fz1.因此过点(0
12、,0,f(0,0)方法2:排除法:举反例说明(a),(c),(d)说明不成立.可见，若f(x)
13、在点x0可导,则极限反过来也成立比如，f(x)处不可导，但1，、limf(1cosh)h0h1coshlim2h0h12忡。1cosh2sin21hlimhh21h2h2h21a，故排除(a)2ilim=f(hsinh)h0h2himhsinhh2hsinhh3hsinh其中，lim3h。|h3hsinhlim3h0h3cosh3h22sin2limh01h23h21h2-hlimh03h2根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以lim-sinh|h0.故排除(c).h0h2 2h0又如f(x)i、。在x0处不可导，但lim1f(2h)f(h)lim1一10存在,0,x0h0hh0h进
14、一步可排除(d).【答案】(a)【详解】【详解】【详解】因为a是实对称矩阵11111111111111行提出公1(4)因子(4))11方法1:ea44111111411111111行分别加(4)000到2,3,4行1)0000003(4)=0得a的特征值为:得a的特征值为:14,2340,故必存在正交矩阵q,使得q1aqqtaqq1aqqtaqq1aqqtaq4000000000000000因此，疆b相似.由两矩阵合同的充要条件:实对称矩阵疆b合同的充要条件是a与b相似.因此，a与b也合同.即a与b既合同且相似应选(a).方法2:因为a是实对称矩阵，故a必相似于一对角阵.又由相似矩阵
15、有相同的特征值，相同的秩，知a与有相同的秩，故r()r(a)1,即对角线上有3个元素为零.因此，1230是a的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知44i43|4.故，44.i1i1即a有特征值4和0(三重根)，和对角阵b的特征值完全一致，故a,b相似.又由两矩阵合同的充要条件:实对称矩阵疆b合同的充要条件是a与b相似.知a,b合同.，所以xyn,从而ynx,(4) 【答案】a【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上故dyd(nx)dx由方差的定义:dxex-2xxearctane(ex)2,所以dyd(nx)e(nx)2e(nx)2e(n22nxx2)(nex)2
16、n22nexex2n22nex(ex)2ex2(ex)2dx)由协方差的性质:cov(x,c)0(c为常数)；cov(ax,by)abcov(x,y)cov(xix2,y)cov(xi,y)cov(x2,y)所以cov(x,y)cov(x,nx)cov(x,n)cov(x,x)0dxdx由相关系数的定义，得(xy)阪以、)(x,y)dx=dydx1dxdx【详解】arctanex,dx2xe_2xx1earctanedx一e2xarctanexd2x2arctanedee2xdarctanex2x,xearctanedexe2x(1e2x).2xxearctane11.x2x；2xdee1e-
17、2xxearctane2xxde*exearctanex四【详解】由题设，(x)dxdxf(xx)f(x,f(x,x)f2(x,f(x,x)f(x,x)f(x,f(x,x)f2(x,f(x,x)f(x,x)f2(x,x)这里f1所以d(x)dxf(1,1)1,所以所以fl(x,f(x,x)f2(x,f(x,x)fl(x,x)fl(1,1)f2(u)fl(1,1)(x)f(x,f(x,x),f(1,f(1,1)f(1,1)1f(1,1)dx3(x)x132(x)5dx五【详解】首先将因为arctanxarctanx于是f(x)f2(x,x)f2(1,1)2171,又um
18、f(x)x0时,f(x)32(1)d(x)dxarctanx展开.11x2arctan01)n2x.arctanxxfnn02n11,/171751(1)n1)n2nxarctanx2n1x12n11)2n2n11)n网1(1)n22n4n2x1)n2,2xn114n(1)0200-x12n12n1(1广o2n112n-x2n112nx2n1:2n也成立.1,且f(0)进而f(x)危x12n12n(1)nn12n12nx(1)n22nxn114n1,所以f(x)在1顷xrn114n
19、1,1,×00处连续，从而(1,1),又在x1处级数(1)n2n112n4n2x(1)n2n11一收敛,4n2所以从而limx1limx1f(x)f(x)f(x)在xf(x)变形得(11因此六【详解】limx1limx12x.arctanxx2x.arctanxx1处左连续，在x(1)n2111)n4n2x1)n114n22nlim-1xlimx12xlimarctanxx11x2limarctanxx11处右连续，所以等式可扩大到2n4ef(x)12(1)n14n212n1,1,f(1)1方法1:用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算记s为平面xyz2上由l所围成的有
20、界部分的上侧侧的方向符合右手法则）d为s在xoy坐标面上的投影cos,cos,cos17oozx,1zxzy在xyz2中,左右两边关于x求偏导，得1在xyz2中,左右两边关于y求偏导，得1代入上式得cos,cos,cos1_113zy0,得zyy2)dz1.dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdysxyzsxyzpqr22yzc222zxo223xy4z)dydz(2z6x)dzdx(
21、2x2y)dxdy1把dscosdydz,dscos1-dzdx,dscos1dxdy代入上式，i(2y4z)cos(2z6x)coss(2x2y)cosds1"3(2y4z)(2z6x)(2xs2y)ds1"38x4y6zdss23s(4x2y3z)ds按第一型曲面积分的算法，将s投影到xoy，记为.ds与它在xoy平面上的投影ds-1d1zx2zycos故dsv3d，将xyz2代入12y3(2xy)(、3d)(2ys将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第
22、一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.2(xy6)dd由于d关于y轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y轴对称,被积函数是关于x的奇函数，所以xd0.d关于x轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x轴对d称，被积函数是关于y的奇函数，故yd0，所以i2(xy6)d2xd2yd12d12dxdyddddd12d的面积(由二重积分的几何意义知，dxdy即d的面积).一1y1,d的面积4-12d的面积(由二重积分的几何意义知，dxdy即d的面积).一1y1,d的面积4-.一1y1,d的面积4-.一1y1,d的面积4-112,所以i12224.方法2:转换投影法.用斯托克斯公式，取平面xyz2被l
23、所围成的部分为s，按斯托克斯公式的规定,它的方向向上(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则),s在xoy平面上的投影域记为d(x,y)|x1.由斯托克斯公式得dsdsdscosdydz,dscosdzdxdscos1dxdy,cos,cos,cos11zx2zy2nx,zy,1dscosdydzcosdxdy,ds1dzdxcoscos1dxdy,dydzcoscosdzdxcoscoszx122zxzy1122zxzyzy7221zxzy1r221zxzydxdydxdydxdydxdyzxdxdyzydxdy因为s为z2因为s为z2因为s为z2xy,式子左右两端分别关于x,y求
24、偏导，足1,1,于是xy(2y4z)dydz(2z6x)dzdx(2x6y)dxdy(2
y4z)dydz(<<(y2z2)dx(2z22_2x)dy(3xy2)dzdydzdzdxdxdydydzdzdxdxdysxpyqzrsx22yzyc222zxzo223xy2z6x)dzdx(2x2y)dxdys2y4z,2z6x,2x6ysz,-,1xydxdy2(4x2y3z)dxdy2(xsdy6)dxdy因为区域d关于y轴对称，被积函数是关于x的奇函数，所以xd0.类似的，因为区域d关于x轴对称，被积函数是关于y的奇函数，故yd0,所以i2(xy6)dd2xd2dyd12dd12d
25、xdy12d的面积(由二重积分的几何意义知dxdy即d的面积)dy1,d的面积i122方法3:降维法.，1八4112,所以224.记s为平面xyz2上由l所围成的有界部分的上侧(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则),d为s在xoy坐标面上的投影，d(x,y)|把xyz2代入i中，l,为l在xoy平面上投影逆时针.2iol(yl1-2.22(2xy)dx(2(2xy)x)dy(3x22y)(dxdy),(y22.、.一2.24x2xy4x4y4)dx(3y2x4xy8x8y8)dy.2-2,.2,2格林公衣m4xy8x8y8)(y4xil1x2xy4x4y4)jdxdyy2(xy
26、6)dxdy24d方法4:用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法记s为平面xyz2上由l所围成的有界部分的上侧,(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)1/cos,cos,cosf1zzy2zx,zy,1在xyz2中,左右两边关于x求偏导，得1zx0,得zx1.在xyz2中,左右两边关于y求偏导，得1zy0，得zy1.代入上式得2o(yz2)dx(2z22_2x)dy(3xy2)dzdydzdzdxdxdydydzdzdxdxdysxpyqzrsx22yzyc222zxzo223xy，由斯托克斯公式得2y4z)dydz(2z6x)dzdx(2x2y)dxdyscos,cos,coscos
27、,cos,cos111?333为s指定侧方向的单位法向量用逐个影法，先计算11(2y4z)dydz,sdyz(y,z)|2y1为s在yoz平面上的投影y0,y0,2y0,2yz0,可得到dyz的4条边界线的方程:于是右:2y左:2yz1;下:z1.3i121dz12(3z)2(1z)(y2z)dy16再计算i2(s2z6x)dzdx，其中d,平面上的投影，分别令x0,x0,2xz线的方程:右:2yz3;上:z3;左:于是i22131(3dz1212(1z)z)(z3x)dx31(z6)dz2yz0,2x(x,z)|x为s在xoz0,可得到dxz的4条边界下:z1.(x,y)|xy1为s在xoy
28、平面上(xy)dxdy0sii1i2i324.再计算i3(2x2y)dxdy,其中dxyd的投影，因为区域关于y轴和x轴均对称，被积函数是关于x和y都是奇函数，于是i32方法5:参数式法.l是平面xz2与柱面xy1的交线，是由4条直线段构成的封闭折线将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当x0,y0时，l1:y1x,z2xy,则dydx,dzdx,x从1到0.以x为参数，于是222222(yz)dx(2zx)dy(3xy)dz2_2_2222(1x)(2xy)dx2(2xy)x(dx)3x(1x)(dx)(1x).2-.2222.(x1)(32x)dx2(32x)xdx3x(x1)(2dx)
29、(1x).2-.2222.(x1)(32x)dx2(32x)xdx3x(x1)(2dx)(1x).2-.2222.(x1)(32x)dx2(32x)xdx3x(x1)(2dx)1(2×2)(1)dx222222则u(yz)dx(2zx)dy(3xy)dzii10(1x)21(2×2)(1)dx7.3当x0,y0,l2:y1x,z12x,则dydx,dz2dx,x从0到1于是(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dz(1x)2(12x)2dx2(12x)2x2dx3x2(1x)2(2dx)(2×4)dx_,2222221所以c；(yz)dx(2zx)dy(3xy)dz(2×4)dx3l
30、20当x0,y0,l3:y1x,z3,则dydx,dz0,x从1到0,于是(y2z2)dx(2z2x2)dy22(3xy)dz(1x)232dx232x2(dx)3×2(1x)202(2x22x26)dx2222220279所以-(yz)dx(2zx)dy(3xy)dz(2x2x26)dxl313当x0,y0,l4:yx1,z32x,则dydx,dz2dx,x从0到1,于是z222222(yz)dx(2zx)dy(3xy)dz所以g(y2z2)dx(2z2l4x2)dy(3x2y2)dz1o(18×12)dx3.所以l2l3l424.七【分析】拉格朗日中值定理:如果f(x)满足在闭区间a,b上
31、连续，在开区间a,b内可导，则至少存在一点a,b，使等式a成立【详解】(1)因为yf(x)在(1,1)内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零x(1,1),存在(x)e(0，1)，(x)x(1,1)，使f(x)f(0)xf(x)xf(x)f(0)，即(x)xf(x)f(0
32、)xf(x)x(0(x
33、)1)0方法2:由泰勒公式得左边=右边，即f"(0)limx(f(0)仰。(x)(0)(x)
34、【详解】h(t)2(x2y2)h(t)i2(t)，所以侧面在xoy面上的投影为:22x，y:xy记v为雪堆体积，s为雪堆的侧面积，则由体积公式fx，ydxdyzdxdyh(t)d22、弓曲化为极坐标，令xrcos,yrsin,0ht2，ht22116r0h2trdr16rdr2h2th
35、2t1616r2dh2t16r:th2h2t168h2th2th2t1616r2h2th2t1627-213h(t)12竺0.9s(t),由题意知0.9由h将上述v(t)和s(t)代入，得213h2(t)125些4dt0.91312蛔j1.3dt因此高度为鸟100130,得c130.13所以h(t)t10130.0,即乌10130厘米的雪堆全部融化所需要时间为1300t100100小时.九【详解】由题设知，1，2,，s均为1,2,s的线性组合，齐次方程组当有非零解时解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以1,2,s均为ax0的解.下面证s线性无关.t1k11k222,2t1t2kss为线
36、性方程组t23,t1st21,代入整理得，t2kt*t2ks1成sax。的一个基础解系，知1,2,s线性无关，由线性无关的定义，知()中其系数全为零，即t1k1t2ks0t2k1t1k20t2ks1tiks0其系数行列式ti00ti00ti00t1000t20t2t1000t2ti0q0ti00ti0t2t2*tit3,与tisititi2ssi.sti(i)t2000t2ti000t2ti000t2ti0ti(i)si3tii,，si.)()变换:把原行列式第i行乘以:加到第ii行，其中i由齐次线性方程组只有零解得充要条件由齐次线性方程组只有零解得充要条件由齐次线性方程组只有零解得充要条件，
37、可见,当t:(i)t；0,即t:(t2)s，即当s为偶数,tit2；当s为奇数,tit2时,上述方程组只有零解kik2ks0,因此向量组i,2,，s线性无关，s2n,tit2,故当2l:时，i,2,，s也是方程组ax0的基础解系.十【详解】(i)方法i:求b,使apbpi成立,等式两边右乘p,即appb成立.223q9.由题设知，apax,ax,axax,ax,ax，又a3x3ax2a2x,故有000000ap222.ax,ax,3ax2axx,ax,axi03pi030i20i2000即如果取bi03，此时的b满足apbp,即为所求0i2方法2:由题设条件px,ax,a2x是可逆矩阵，由可逆
38、的定义，知有p1使pp1pp1pp1p1p2x,ax,axp1x,p1ax,p1a2x100010001即有p1x0,p01ax1,p01a2x01.由题设条件,a3x3ax2a2p13axp13ax2a2x3p1ax2p1a2x30102003由abpbpp1p1,得ap11_ax,pp1a1*2axx,ax,a21*3:,paxx010p1001ax,a2x,a3x032012a与b相似.由矩阵相似的性质:由及矩阵相似的定义知,x,有若ab，则若ab，则f(a)f(b)，则ae与ae也相似.又由相似矩阵的行列式相等，得,一11仃（1）0加到2行03 (1)11【分析】首先需要清楚二项分布的
39、产生背景.它的背景是:做n次独立重复试验，每次试验的结果只有两个（要么成功，要么失败），每次试验成功的概率都为p,随机变量x表示n次试验成功的次数，则xb（n,p）.在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n个人相当于做了n次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成m人下车的概率，相当于求条件概率实验失败，而且每次实验成功的概率都为p，则问题（1）成为n重伯努利实验中有m次成功.【详解】（1）求在发车时有n个乘客的条件下，中途有，因此根据二项分布的分布律有，因此根据二项分布的分布律有，因此根据二项分布的分布律有n,n0,1,2pym|xn,由题设知，此条件概率
40、服从二项分布pym|xncmpm(1p)nm,0m求二维随机变量（x,y）的概率分布，其实就是求pxn,ym，利用乘法公式，有pxn,ympym|xnpxnn又x服从参数（0）的泊松分布，由泊松分布的分布律有pxnen!pxn,ympym|xm_mncnp(1p)men!其中0mn,n0,1,2-十二【详解】1nvl1nx,x1xi,x2xnini1ni11，则x-x1x2，即2xx1x2因此因此因此es2所以ex1ee(y)e因为样本方差xixis2xixi1xix12x1x1nexii1xni2xnuxix1xixix1n22exix1(n1)，同理i1u,ex2xnx1eninxn1nx
41、ii1ix2x1xnxnix2xnx2是总体方差的无偏估讨n2exnix2i1x2xni，则2x2es22,即(n1)ne2xix；xnii1ne2xix；xnii1ne2xix；xnii12exi又xni兄i1exiexiexix1xnix2exixni1xix2x1xnix1x2exxiex1x2nexixniexix2i1由于x1,x2，x2n(n2)相互独立同分布，则xi与又，x1与xni,又与幻也独立(i1,2-n).而由独立随机变量期望的性质(若随机变量x,y独立，且ex,ey都存在，则exyexey),所以exixniexiexni2u2,exix22exiex2u2故有exxniexexnu2,ex"1又ex1ex2nexii1x1xnx2e(y)exixnexix2exxiex1x2n2u1xixi2xix1xn1x2xni2x211sinhhlim
